統計的仮説検定超入門！その3

2 つの記事を通して、統計的仮説検定について解説してきました。

• 統計的仮説検定超入門！
• 統計的仮説検定超入門！その2

より理解を深めるには、自らの手で計算してみることが肝要です。いくつか計算問題を作ったので、理解度チェックにご活用ください。

問題

問題全体を通じて以下の設定をつかいます。

• 仮説：コインの表の出る確率は 1/2
• サンプルサイズ：120

確率値の計算には、下のほうにある確率表を使ってください。

p 値

表の出た回数ごとに、p 値を計算してください。

検出率

真の表の出る確率ごとに検出率を計算してください。

β エラーを引き起こす確率

真の表の出る確率ごとに、β エラーを引き起こす確率を計算してください。

確率表

コインの投げる回数は問題全体で 120 回にそろえてあります。

表の出る確率ごとに、表の出る回数がある値以下 (or 以上) となる確率を表にしています。 つまり左上のセルは、「真の表の出る確率が 0.5 である場合に、表の出る回数が 48 回以下となる確率は 0.018 である」という意味です。

答え

p 値

p 値とは、仮説が正しい場合に、手元のデータがどれほど珍しいかを表した確率値でした。仮説に基づいて計算されるわけですから、表の出る確率を 1/2 として計算します。

表と裏に区別はつけず、表が少ない場合と裏が少ない場合の確率を足し合わせます。

検出率

まずは棄却域を求めます。

表の出る確率が 0.5 の段を見ましょう。表の出る回数が 48 回以下の確率は $0.018$ です。表と裏の回数が正反対である、表の回数が 72 回以上の場合と合わせると $0.036$ となります。

一方で、表の出る回数が 49 回以下または 71 回以上となる確率は $0.054$ です。今回は有意水準を 5%、つまり $0.05$ としているので、棄却域は「48 回以下または 72 回以上」となります。

次に検出率を計算します。まずは真の表の出る確率が $0.49$ の場合からです。棄却域に入る確率を計算すればいいので、表の 48 回以下のところと 72 回以上のところを足し合わせれば良く、$0.04$ と分かります。同様に真の表の出る確率が 0.4 のときは、$0.54$ と分かります。

β エラーを引き起こす確率

検出率は、仮説が間違っているときに、それを正しく検出できる (仮説を棄却できる) 確率のことでした。一方で β エラーとは、仮説が間違っているときに、仮説を棄却できないことでした。

したがって以下のような関係にあることがわかります。

$$\beta \text{エラーの確率} = 1 - \text{検出率}$$

したがって 2 問目の結果から以下のように分かります。